MATEMATICAMENTE.: DECIMO GRADO

1.Funcion lineal.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

$f(x) = m x + b \,$

$f(x) = m x \;$

$y = m \; x + b \,$ $y = 0,5\; {x} + 2 \,$ $y = -{x} + 5 \,$

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.
Ejemplo:

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:en esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.

En la ecuación: la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.En una recta el valor de m se corresponde al ángulo

\theta\,

de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

m = \tan \theta \,

2. Funcion inversa.

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = xLas gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función,

4.identidades trigonometricas fundamentales.

Definición:

Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que aparecen en la expresión.

Ejemplo 1:La expresión es una identidad trigonométrica porque no importa el valor del ángulo para que la igualdad se cumpla, ya que la secante de un ángulo cualquiera es el inverso del coseno de ese ángulo.

Ejemplo 2:La expresión es una identidad trigonométrica.Si P(x, y) son las coordenadas del lado terminal de un ángulo en su forma estándar y forman parte de un círculo de radio a, se cumple: , por tanto , .De la definición de funciones circulares, se tiene que:

Ejemplo 3:Si en el círculo se divide por , se tiene: ; Por tanto, .De la definición de funciones circulares, se tiene: .

Identidades fundamentales:

El estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante el, se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en otras equivalentes y estas transformaciones hacen que ciertas operaciones, como la integración y la diferenciación, puedan efectuarse con mayor facilidad.Las siguientes identidades trigonométricas son fundamentales.

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5. Angulo de referencia.

Los ángulos de referencia son los ángulos comprendidos en el primer cuadrante de la circunferencia trigonométrica esto es los ángulos que van del 0° al 90°.

Puede decirse que los ángulos de referencia son los ángulos agudos, incluidos el nulo y el recto. Sirven para calcular razones trigonométricas para ángulos en otros cuadrantes.Muchas veces se nos solicita encontrar una determinada función trigonométrica para un angulo que sea mayor que 90º, es decir que no sea un angulo agudo y esto se nos puede convertir en un verdadero dolor de cabeza si lo que estamos utilizando es la tabla de las funciones trigonométricas, debido principalmente a que esta solamente llega hasta el angulo de 90º, de modo que todos los demás ángulos mayores de este no salen allí.

Para encontrar el valor de una determinada función trigonométrica para estos ángulos debemos utilizar el denominado angulo de referencia el que se forma con el lado terminal de un angulo saliendo este del eje de las coordenadas o x, ya sea positivo o negativo y tienen que ser menor de 90º, es decir un angulo obtuso, esto de modo que a partir de este angulo podamos encontrar el valor de las funciones trigonométricas para el angulo mayor de 90º que se nos pidió originalmente.

Existen unas reglas para encontrar el angulo de referencia dependiendo de en que cuadrante de nuestro plano cartesiano este el lado terminal del angulo que estamos estudiando y esas son las siguientes:

Para los ángulos con lados terminales ubicados en el Primer Cuadrante, el angulo de referencia estaría dado por la siguiente formula θr = θ. Esto quiere decir que el angulo de referencia seria el mismo angulo que nos dieron.

Para los ángulos con lados terminales ubicados en el Segundo Cuadrante, el angulo de referencia esta dado por la resta de 180º – θ. Esto quiere decir que el angulo de referencia esta dado por la resta de 180º menos el angulo que ya nos dieron.

Para los ángulos con lados terminales ubicados en el Tercer Cuadrante, el angulo de referencia estaría dado por la resta del angulo dado menos 180º.

Para los ángulos con lados terminales ubicados en el Cuarto Cuadrante, el angulo de referencia esta dado por la resta de 360º menos el angulo dado.

6.traslacion de funciones trigonometricas.

TRASLACIÓN DE FUNCIONES:

Se puede referir a lo que sigue de f(X)la translacion horizontal es: f(x+c) o f(x-c) y la translacion vertical es:f(x)+cdonde c es una constant

TRASLACION:

Es sumar o restar una c a la funcion o sea sea f(x)una funcion para trasladar la funcion hacemos f(x+c) o f(x-c) con c igual a una constante

Traslación horizontal y vertical:

sea h un número real positivo. La gráfica y=f(x+h) se desplaza h unidades hacia la izquierda de la gráfica de f(x). Mientras que la gráfica de y=f(x-h) se desplaza h unidades hacia la derecha de la gráfica f(x)

7. inversa de la funcion seno.

En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Si tenemos: $\arcsin \alpha\,$ , su significado geométrico es el arco cuyo seno es alfa.La función seno no es inyectiva, por lo que no tiene recíproca. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio de la función seno al intervalo: $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ Del mismo modo que $y = \sqrt{x}$ se puede definir de modo que y² = x, la función y = arcsin(x) se puede definir también de modo que sin(y) = x.La notación matemática del arcoseno es arcsen; es común la escritura ambigua sen^-1. En diversos lenguajes de programación se suele utilizar la forma ASN, ASIN y ARCSIN.

GRAFICAMENTE:

8.inversa de la tangente.

La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$ forma geometrica: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$ $\tan \alpha = \frac{\overline{AF}}{\overline{FG}}$ $\tan \alpha = \frac{1}{\overline{FG}}$ graficamente:Sabiendo que:Partiendo del triángulo AGF rectángulo en que:Donde el segmento AF vale uno

GRAFICAMENTE:

9. angulo de elevación y de depresión.

Angulo de elevación:

El término ángulo de elevación denota al ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría sobre la horizontal.

Angulo de depresión:

El término ángulo de depresión denota al ángulo desde la horizontal hacia abajo a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría debajo de la horizonta

l.

Dese cuenta que el ángulo de elevación y el ángulo de depresión son congruentes

.

Llegó el momento de aplicar nuestros conocimientos trigonométricos a nuestro diario vivir. Para ello te presentamos los ángulos de elevación y de depresión, que son los que se forman por la linea visual y la linea horizontal como se muestra en las siguientes figuras:

AB : Linea Visual

a : ángulo de depresión

b : ángulo de elevación

Veamos ahora su aplicación, que a nosostros nos pareció fácil y bastante entretenido. Debe ser por que estamos trabajando con cosas reales.En este tipo de ejercicios te sugerimos el hacer siempre una figura que te permita visualizar mejor el problema.

1. Desde un punto, situado a cierta distancia de una torre de 160 m. de altura, se mide su ángulo de elevación resultando éste de 58º. ¿A qué distancia está el punto de observación?

?m

El punto de observación está a 100 m. de la torre.

10.Ley del seno.

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue:

Figura 1

Resolución de triángulos por la ley de los SenosResolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos.Ejemplo:Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos.Solución:Calculemos el ángulo como los tres ángulos internos deben sumar 180º , podemos obtener el ángulo ,Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos:

11. Identidades para la adicion de angulos.

Definicion:

este tipo de indentidades muestra una suma o una adicion para un angulo; la idea es poder expresar un angulo cualquiera en funcion de un suma o una resta.
En ocasiones se encuentran expresiones de la forma: , ,..., y es importante poder escribirlas directamente en términos de $sen\alpha$ , $sen\beta$ , $\cos\alpha$ , $\cos\beta$ .Mediante construcciones geométricas, la definición de distancia y el uso de la identidades fundamentales se puede demostrar quey a partir de ella, determinar el valor del coseno de la suma y otros resultados.Las igualdades son válidas para cualquier tipo de ángulos y su medida puede estar dada en grados sexagesimales o en radianes. Así:La fórmula para determinar el coseno de la suma se encuentra a partir de la anterior, expresando a como :Teniendo en cuenta que y que :Usando estas identidades podemos hallar el seno y el coseno del complemento de un ángulo:Como y

13. La parabola.

En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Ecuación general de una parábola:

Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

$\,a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$

si y sólo si

$\, b^2 - 4ac = 0$

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma $\,a x'^2 + b x' + c = 0$ , donde a es distinto de cero.

Historia:

La tradición indica que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,³ considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra línea recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección será llamada una parábola

Apolonio de Perge Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.

14.La elipse.

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Historia:

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

Ecuaciones de una elipse:

n coordenadas cartesianas

:

x² + xy + y² = 1

Forma cartesiana centrada en el origen:

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen:

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es: $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

En coordenadas polares:

Forma polar centrada en origen:

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1) $r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\cfrac{\cos^2\theta }{a^2}+\cfrac{\sin^2\theta}{b^2 } }}$

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad

$\scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ ),

es:

(epc 2) $r (\theta )=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon ^2 \cos ^2(\theta )}}$ Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad $\scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un foco:

Coord. polares sobre un foco.

En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:

(501) $r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}$

Para el foco F1:

(502) $r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon\cos\theta}$

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.

En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular $\varphi$ , la forma polar es:(503) $r(\theta)=\frac{a (1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon \cos(\theta - \varphi)}$ }

El ángulo $\theta$ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas $a (1-\varepsilon^{2})$ es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado $l$ . El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Formas paramétricas:

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en $(h,k)$ y siendo $a$ el semieje mayor y $b$ el menor, es: $\begin{cases} x = h+a\cos\alpha\\ y = k+b\sin\alpha \end{cases}$

con $\alpha\in [0,2\pi)\ .\ \alpha$ no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre $\alpha$ y θ es

${\rm{tg}} \theta = {b \over a}\ {\rm{tg}} \alpha$

.La ecuación paramétrica de una elipse con centro en $(h,k)$ en la que el parámetro $\theta$ sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado $(h,k)$ es:

$\begin{cases} x = h+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \cos\theta\\ y = k+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \sin\theta\end{cases}$

con $\theta\in [0,2\pi)$ . El parámetro $\theta$ es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en $(h,k)$ .

Área interior de una elipse:

El área de la superficie interior de una elipse es:

$\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b$

Siendo a y b los semiejes.

Perímetro de una elipse:

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

$P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$

Propiedades notables:

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

15. vectores.

En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en unespacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano $\R^2$ o en el espacio $\R^3$ .

Definición:

Componentes de un vector.

Se llama vector de dimensión $n \,$ a una tupla de $n \,$ números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión $n \,$ se representa como $\mathbb{R}^n$ (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector $\scriptstyle v$ perteneciente a un espacio $\mathbb{R}^n$ se representa como:

(left) $v = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)$ , donde $v \in \mathbb{R}^n$

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$ ó bidimensional $\mathbb{R}^2$ ).Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:

módulo: la longitud del segmento

dirección: la orientación de la recta

sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.⁴Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo $AB$ , que indican su origen y extremo respectivamente.

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \,$

Clasificación de vectores:

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios. En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

16.Matrices, espacios muestrales.

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito $n\times m$ ) donde $n,m\in \mathbb{N}-\{0\}$ . El conjunto de las matrices de tamaño $n\times m$ se representa como $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ , donde $\mathbb{K}$ es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila $i-\,\!$ ésima y la columna $j-\,\!$ ésima se le llama entrada $i,j\,\!$ o entrada $(i,j)\,\!$ -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz $A$ de tamaño $n\times m$ que se encuentra en la fila $i-\,\!$ ésima y la columna $j-\,\!$ ésima se le denota como $a_{ij}\,\!$ , donde $1\leq i\leq n$ y $1\leq j\leq m$ . Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un $i\,\!$ o un $j\,\!$ con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz $A\,\!$ de tamaño $50\times 100$ se representa como $a_{1,2}\,\!$ mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como $a_{23,100}\,\!$ .

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así $\mathbf{A}$ es una matriz, mientras que $A\,\!$ es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. $A:=(a_{ij})\,\!$ o incluso $A:=a_{ij}\,\!$ .

Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño $1\times n$ mientras que un vector columnaes cualquier matriz de tamaño $m\times 1$ .A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, $m=n\,\!$ , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})$ o alternativamente $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Ejemplo:

Dada la matriz $A\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})$ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix}$ $R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

Suma o adición:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Propiedades:

es una matriz de tamaño $4\times 3$ . La entrada $a_{23}\,\!$ es 7. La matriz $R\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})$

es una matriz de tamaño $1\times 9$ : un vector fila con 9 entradas.

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria $+:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=A+B$ y donde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}\,\!$ es igual a la suma de los elementos $a_{12}\,\!$ y $b_{12}\,\!$ lo cual es $a_{12}+b_{12}\,\!$ .Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ No es necesario que las matrices sean cuadradas:

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad + \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & 6 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{bmatrix}$

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

Sean $A,B,C\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ , donde $\mathbb{K}$ es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria $+$

Asociatividad

$(A+B)+C=A+(B+C)\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación binaria $+\,\!$ se sigue el resultado ya que $(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Conmutatividad

$(A+B)=(B+A)\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación binaria $+\,\!$ se sigue el resultado ya que $a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Existencia del elemento neutro aditivo

Existe $0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+0=0+A=A\,\!$

Demostración Tómese $0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $0_{ij}=0_{\mathbb{K}}\in\mathbb{K}$ para cualquier $i,j\,\!$ (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ se sigue que $A+0=A\,\!$ ya que $a_{ij}+0_{ij}=a_{ij}+0_{\mathbb{K}}=a_{ij}$ para cualquier $i,j\,\!$ , dado que las entradas están en un campo.

Existencia del inverso aditivo

Existe $D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+D=0\,\!$ a esta matriz $D\,\!$ se le denota por $-A\,\!$ .

Demostración Dada $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tómese $D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+D=0\,\!$ . Entonces $a_{ij}+d_{ij}=0_{ij}=0_{\mathbb{K}}$ ; luego, por las propiedades de campo $d_{ij}=-a_{ij}\,\!$ donde $-a_{ij}\,\!$ es el inverso aditivo de $a_{ij}\,\!$ en el campo para cualquier $i,j\,\!$ .En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son $\mathbb{R}$ (los números reales) y $\mathbb{C}$ (los números complejos).Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que $(\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}),+)$ es un grupo abeliano.En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo $(A,+_{A},\cdot_{A})$ , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a $(\mathcal{M}_{n\times m}(A),+)$ , ya que bajo unanillo $(A,+_{A},\cdot_{A})$ se tiene que $(A,+_{A})\,\!$ es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo $(G,+_{G})\,\!$ , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura degrupo abeliano a $(\mathcal{M}_{n\times m}(G),+)$ .

MATEMATICAMENTE.

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DECIMO GRADO

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