NOVENO GRADO

 

 1. números reales y la recta numerica.

 2.Inecuaciones con valor absoluto.

 Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto:

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:

    Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
    Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
    Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
    La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
        Como intervalo
        Como conjunto
        Gráficamente 

Ejemplo:

Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.

Vamos a resolver la ecuación:

∣ x - 20 ∣ = 6

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14

   

x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo

   

Punto de Prueba

   

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.

( - ∞ , 14 )

    x = 0     ∣ 0 - 20 ∣ = 20

( 14 , 26 )

    x = 15     ∣ 15 - 20 ∣ = 5

( 26 , ∞ )

    x = 27     ∣ 27 - 20 ∣ = 7

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

    Expresando la solución como conjunto:

    x 14 ≤ x ≤ 26

    Expresando la solución como intervalo

    [ 14 , 26 ]

    Gráficamente

3.Concepto de función.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Ver: Relaciones y funciones
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
                          1 -------->   1
                          2 -------->   4
                          3 -------->   9
                          4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
                           1 -------->   1
                          2 -------->   4
                          3 -------->   9
                          4 --------> 16
                           x -------->   x².
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
                                           x --------> x²      o     f(x) = x² .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3² = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a², etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

 4. función afín.

Función afín   ⇒   y = m x + n:

La fórmula de la función afin es: y = m x + n donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Si m es positiva le recta es creciente. Si m es negativa la recta es decreciente.
La ordenada en el origen es n, punto donde la recta corta al eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n)

Estudiar y representar  la siguiente recta    y = 2x + 3

La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 3)

Tabla de valores de la función
x	1	0	-1
y	5	3	1

Gráfica:

 5.Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

6. sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas.

7.representacion grafica de los numeros complejos. modulos y conjugado.

Números complejos iguales

Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

Números complejos conjugados

Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.

Números complejos opuestos

Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

Números complejos inversos

El inverso de un número complejo no nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

8. multiplicación y división de números complejos.

Multiplicación.
- Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i ² = -1.
z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
División.
- Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

9. Raices de la funcion cuadratica.

Raíces de una Función Cuadrática:

La siguiente aplicación nos muestra otra forma de expresar las funciones cuadráticas.

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

En la aplicación anterior al escoger a = 1, $r$ 1 = 1 y $r$ 2 = 2 resulta la gráfica de la ecuación cuadrática
Selecciona la caja rotulada Intersección con el eje. Nota que $r$ 1 y $r$ 2 son los valores de x donde f(x) = 0. Estos valores se conocen como las raíces de la función cuadrática.
Si realizamos la multiplicación, obtenemos la fórmula de la función correspondiente en su forma general.

f(x) = x² - 3x + 2.

Esto nos indica que si tenemos la fórmula y la factorizamos obtenemos las raíces de una función cuadrática. En esta sección utilizaremos lo aprendido en la lección de factorización.

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Función Cuadrática con dos Raíces Reales:

Ejemplo:
Encontrar las raíces de la función $f$ x = x 2 + 3 x - 10
Solución:
Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0
Factorizando la expresión obtenemos

$f$ x = x+5 x-2

Como el producto anterior es cero, entonces:

$\left(x+5\right)$ = 0 x = -5

o

$\left(\mathrm{<br>}\right)$ $\left(x-2\right)$ = 0 x = 2

Si una función cuadrática tiene dos raíces reales su fórmula se puede escribir en la forma k(x-a)(x-b) donde a y b son números reales. En este caso, la gráfica atraviesa el eje x dos veces.

Las raíces de la función $f$ x = x 2 + 3 x - 10 son x=5 y x=-2
Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

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Función Cuadrática con una Raíz Real:

Ejemplo:
Encontrar las raíces de la función $f$ x = x 2 - 2 x + 1
Solución:
Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0
Factorizando la expresión obtenemos

$f$ x = x - 1 x - 1

Como f(x)=0, entonces:

$\left(x\right)$ - 1 = 0 x = 1

Si una función cuadrática tiene una raíz real su fórmula se puede escribir en la forma k(x-a)2 y su gráfica toca el eje x pero no lo cruza.

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Función Cuadrática sin Raíces Reales:

$$x$$ = − − 3 ± − 3 2 − 4 ⁢ 2 ⁢ 2 2 ⁢ 2

$$x$$ = 3 ± 9 − 16 4

$$x$$ = 3 ± 7 i 4

Si, usando la fórmula cuadrática, obtenemos raíces imaginarias para función cuadrática, significa que la función no tiene raíces reales. En este caso, la gráfica no toca el eje x.

Las función $f$ x = x 2 - 2 x + 1 tiene una raíz y es x=1
Como vemos en la siguiente figura, la gráfica de la función toca el eje x sin cruzarlo, por lo que sólo tiene una raíz:

Ejemplo:
Encontrar las raíces de la función $f$ x = 2 x 2 - 3 x + 2
Solución:
Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0
Cuando vemos que no es muy facil la factorización podemos recurrir a la fórmula cuadrática.
Estudiamos la fórmula cuadrática en la leccion ecuaciones cuadraticas.
Las raíces de la función $f$ x = 2 x 2 - 3 x + 2 son $$x$$ = 3 + 7 i 4 y $$x$$ = 3 - 7 i 4
Cuando la gráfica no intercepta el eje x, las raíces de la función cuadrática son imaginarias, como vemos en la gráfica correspondiente:

10. desigualdades cuadraticas.

11. función exponencial.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Definición formal:

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

propiedades:

• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

• 

• 

• 

• 

o como el límite de la sucesión:

La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

Derivada:

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

• La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

• La función es solución de la ecuación diferencial .

Es decir, e^x es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .

12. Funcion logarítmica:

Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Definición de función logarítmica:

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

Propiedades de la función logarítmica:

• La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).

• Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.

• En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_a 1 = 0, en cualquier base.

• La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

• Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

13. sucesiones aritmeticas:

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:

EJEMPLOA:

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…

La diferencia entre cualquier término y el anterior es  3, de modo que el término general sería 3n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.

Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:

3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:

EJEMPLO B:

Notemos la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…

La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –6n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.

Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en la anterior fórmula:

–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = –6, b = –7 y n = 30:

14.sucesiones geométricas

Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así,  es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo  el término en cuestión,  el primer término y , la razón:

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es::

16. Metodo de demostracion.

http://es.slideshare.net/filosofico/mtodos-de-demostracin-en-matemtica

gigi−1

17.poliedros y cuerpos redondos.

http://es.slideshare.net/angelencinas2/poliedros-y-cuerpos-redondos

18. permutaciones.

En matemáticas, una mutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.

Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.

Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.

Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por

• 1 → 1
• 2 → 2
• 3 → 3

puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".

Por otro lado, la asignación biyectiva dada por

• 1 → 3
• 2 → 2
• 3 → 1

puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".

En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre  X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que  X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.es un conjunto finito al estudiar permutaciones.