UNDECIMO GRADO






1. Inecuaciones y valor absoluto.


Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto:

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:






  1. Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
  2. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
  3. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
  4. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
  • Como intervalo
  • Como conjunto
  • Gráficamente

Ejemplo:
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6

 Solución:
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ x - 20 ∣ = 6
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14
x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
Intervalo
Punto de Prueba
Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , 14 )x = 0∣ 0 - 20 ∣ = 20
( 14 , 26 )x = 15∣ 15 - 20 ∣ = 5
( 26 , ∞ )x = 27∣ 27 - 20 ∣ = 7

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .
La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:x 14 ≤ x ≤ 26
  • Expresando la solución como intervalo[ 14 , 26 ]
  • Gráficamente




2.Función cuadrática.



Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es unecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.
funcio_cuadratica07
Parábola del puente, una función cuadrática.
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5

x

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

x

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
funcion_cuadr_graficar003
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.
Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Ver: PSU: Matemática;
Pregunta 34_2010
Pregunta 18_2006

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

x
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

x
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
funcion_cuadr_graficar005
Donde  x1  y  x2  son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
funcion_cuadr_graficar004

x

Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
funcion_cuadr_graficar008
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetríafuncion_cuadr_graficar006 y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, funcion_cuadr_graficar007según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)



3.Función racionales


Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dospolinomios.
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: fórmula | matematicasVisuales

Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales. En estas páginas sobre funciones racionales vamos a considerar solamente funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de grado mayor que 0.
Las funciones racionales pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas y que vamos a revisar en estas páginas:
- Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos. Esto es debido a que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 y no podemos dividir entre 0. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juegan un papel especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos valores decimos que la función no está definida para esos valores de x.
También decimos que esos puntos no pertenecen al dominio de la función. El dominiio de una función racional está determinado por las restricciones impuestas por el denominador: dividir entre 0 es imposible.
El dominio es el conjunto de los números reales para los que la función está definida. En el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales que no son ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del denominador.
A estos puntos se les llama singularidades y es interesante ver cómo se comporta la función cerca de esos puntos.
- Puntos de corte con el eje de abcisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abcisas. Son los valores de x para los que f(x)=0.
- Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio puede no ser todos los números reales).
- Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica.

GRAFICAMENTE:



4.Función parte entera.



En matemática, las funciones de parte entera son funciones, que toman un número real y devuelven un número entero más próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:
f: \mathbb{R} \rarr \mathbb{Z}, \qquad \mathrm{con}\ |x-f(x)| < 1
Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:
  • Función piso (o suelo), que a cada número real asigna el número entero más próximo por defecto, es decir, el mayor número entero igual o menor que ese número real. (por ejemplo, si tenemos el caso [-2.4], este se acercaria al valor -3; o aplicándolo a un caso positivo sería [1.5], este se acercaria al valor 1). Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente floor o Floor («suelo» en inglés).
  • Función techo, que a cada número real asigna el número entero más próximo por exceso, es decir, el menor número entero igual o mayor que ese número real. Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente ceil o Ceil (por ceiling, «techo» en inglés).
  • Redondeo, que a cada número real asigna el número entero más próximo según su parte decimal.
  • Truncamiento, que a cada número real asigna el número entero resultado de ignorar su parte decimal.
Un concepto relacionado con estas funciones es la función de parte decimal, cuya representación es la de una onda de sierra.

Función parte entera

Picture


















Se denomina así la función de la forma f(x)=[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él. El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior, origina una gráfica escalonada.


5.Composición de funciones.



Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

 
 

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).


Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.


Ejercicio:
 Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2.

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.


Resolución:

 
       

· La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:


‚ Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:
a) (g o f ) (x)
b) (f o g ) (x)
c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1)
d ) El original de 49 para la función g o f.

Resolución:


 
 
                                                                      


 
 
                                                                        


c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:



(g o f ) (x) = 3x2 + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.




6.funcion inversa.


Si una función f consiste en elevar al cuadrado y otra función g consiste en extraer la raíz cuadrada, cada una neutraliza lo que hace la otra.
         
             
Las funciones f y g son una inversa de la otra.

En esta escena están representadas las funciones:
para x>0
que son una inversa de la otra.
Fíjate bien en las coordenadas de los puntos P de f y Q de g (puedes mover el punto P arrastrándolo con el ratón)
Si P(a,b) ¿cuáles son las coordenadas de Q? Consecuencia de ello, si te fijas en la escena, las gráficas de f y g son simétricas respecto a la recta y=x

A la función inversa de f, se le llama f -1, y se cumple que: 
Si f(a)=b f -1(b)=a
Como consecuencia se dan las relaciones siguientes:
(f -1 º f)(x)=x                    (f º f -1)(x)=x






7.Límites laterales.


Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.
El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera
  • x ® a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
  • x ® a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha

Límite lateral por izquierda
 
{short description of image} si dado e > 0, $ d > 0 tal que
si a - d < x < a Þ {short description of image}


ímite lateral por derecha
 
{short description of image} si dado e > 0, $ d > 0 tal que
si a < x < a + d Þ {short description of image}

Observación. Una función tiene límite si los límites laterales son iguales, es decir, cuando {short description of image}

Concepto:

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función $f$, en la que existe una discontinuidad cuando $x=a$:
notemos que cuando $x$ tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando $x$ tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

 Escribimos $x\Rightarrow a^{+}$ para indicar que $x$ tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmente $x\Rightarrow a^{-}$ indica que $x$ tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=1}$. Estos límites reciben
el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1. 
Ejemplo:
Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función $h$ cuya representación gráfica es la siguiente:
Se tiene que:
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{h(x)}=3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{h(x)}=-1}$
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{h(x)}=-3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{h(x)}=1}$


8.Funciones continuas.


En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que esdiscontinua. Una función continua de \R en \R es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.
La función función es continua en R − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.
grafica


9. Derivada.





10.Regla de la cadena y regla de la potencia.



http://es.slideshare.net/willaren/regla-de-la-cadena-y-regla-de-la-potencia




11.Máximo y mínimo absoluto.

Sea f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R} , sea  x_0 \in A y sea  P=\,(x_0, f(x_0))  un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de x_0 pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de x_0. Esto es:
P\,(x_0, f(x_0)) máximo absoluto de f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x) .

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de x_0 perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de x_0. Esto es:
P\,(x_0, f(x_0)) mínimo absoluto de f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x) .


Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Representación
a = 0
Gráfica
b = 0




12.Integrales.



Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen af(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo lasprimitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida:
Propiedades de la integral indefinida:
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.
Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:
  1. Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, gráfica de la función y=f(x)=\sqrt{x}\,, acotada entre x=0\, y x=1\,.
  2. La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la curva de función f\,, en el intervalo desde 0\, hasta 1\,? es: que el área coincidirá con la integral de f\,. La notación para esta integral será
\int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.
Una primera aproximación, muy grosera por cierto, para obtener esta área, consiste en determinar el área del cuadrado unidad cuyo lado lo da la distancia desde x=0 hasta x=1 o también la longitud entre y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1x1 = 1. Tal como se puede inferir, el verdadero valor de la integral tendrá que ser más pequeño. Particionando la superficie en estudio, con trazos verticales, de tal manera que vamos obteniendo pequeños rectángulos, y reduciendo cada vez más el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación, se obtendrá un mejor resultado; por ejem. dividamos el intervalo en cinco partes, empleando los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5,3⁄5,4⁄5 y, finalmente la abscisa 1. Se obtienen cinco rectángulos cuyas alturas se determinan aplicando la función con las abscisas anteriormente descritas (del lado derecho de cada pedazo de la curva), así \sqrt{{}^{1}/_5}, \sqrt{{}^{2}/_5}, \sqrt{{}^{3}/_5}… y así hasta \sqrt{1}=1\,. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una segunda aproximación de la integral que se está buscando,
\sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \ldots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0,7497\,\!
Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que las continuas aproximaciones continúan dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta. Si en vez de 5 subintervalos se toman doce y ahora tomamos las abscisas de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un estimado para el área, de 0,6203, que en este caso es de menor valor que el anteriormente determinado. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación
\int f(x) \, dx \,\!
concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).
Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x)=\frac 2 3 x^\frac 3 2 y simplemente tomar F(1)-F(0)\,, donde 0\, y 1\, son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como
\int_0^1 \sqrt x \, dx = \int_0^1 x^\frac 1 2 \, dx = \left. ( \frac 2 3 x^\frac 3 2)\right |_0^1 = \frac 2 3 1^\frac 3 2 - \frac 2 3 0^\frac 3 2 = \frac 2 3.
Como se puede ver, la segunda aproximación de 0,7 (con cinco rectangulitos), arrojó un valor superior al valor exacto; en cambio la aproximación con 12 rectangulitos de 0,6203 es una estimación muy por debajo del valor exacto (que es de 0,666...).
Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación
\int_A f(x) \, d\mu \,\!
hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo devariedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,
\int_{A} \bold{d} \omega = \int_{\part A} \omega , \,\!
a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.
Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no solo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.
A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.





13.PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS.



1. EVENTOS INCOMPATIBLES:
Supongamos que tiras un dado y quieres determinar la probabilidad de que aparezca un número múltiplo de 3 o divisor de 10. Para que sea múltiplo de tres, tenemos los casos 3 y 6. Para que sea un divisor de 10, tenemos los casos 1, 2 y 5. Observa que es imposible que se cumplan ambos eventos, ya que no hay ningún elemento común. En este caso se dice que son eventos incompatibles. Por lo tanto, la probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10 es: 2*6 + 3*6 = 5*6
En general si A y B son eventos incompatibles, la probabilidad del evento “A o B” se calcula mediante la expresión:
P(A o B) = P(A) + P(B)
2. EVENTOS COMPATIBLES:
Supongamos ahora que vamos a extraer una carta de un mazo inglés de 52 cartas y queremos determinar la probabilidad de sacar un as o un trébol. Para que sea un as hay cuatro posibilidades. Para sacar un trébol hay trece posibilidades. Pero en este caso, hay un elemento que es común a ambos eventos (el as de trébol), y por lo tanto los casos favorables serían 4 + 13 –1 = 16; en términos de probabilidades sería equivalente a afirmar que:

P(As)+P(trebol)-P(As y Trebol)= 4/52+13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13 
Por lo tanto, si A y B son eventos compatibles, es decir, si pueden ocurrir ambos simultáneamente, la probabilidad se calcula mediante la expresión:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
3. EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.
Si tiramos una moneda tres veces, la probabilidad de que en todas las ocasiones salga cara responde a eventos independientes, ya que el resultado de un lanzamiento no afecta lo que vaya a ocurrir en el próximo.
Si configuramos un diagrama de árbol para el conteo de todas las posibilidades en el lanzamiento de tres monedas, obtenemos el siguiente gráfico:

Descripción: Diagrama de árbol para el conteo de todas las posibilidades en el lanzamiento de tres monedas
Según este diagrama, la probabilidad de obtener tres resultados cara es: 1/8 lo que es equivalente a multiplicar la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento:
P(cara, cara y cara) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8
En términos de la frecuencia relativa, lo anterior es equivalente a pensar que al lanzar una moneda una cantidad de veces, la mitad de ellas saldría cara (idealmente), de la mitad de estas veces volvería a salir cara en el segundo lanzamiento, y la mitad de éstas saldría cara en la tercera oportunidad; por lo tanto, la mitad de la mitad de la mitad de los lanzamientos saldría cara. De aquí que la frecuencia relativa de las veces que saldría cara en los tres lanzamientos es: 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 
En general, si A y B son eventos independientes, entonces se cumple que:

P(A y B) = P(A) · P(B)














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